Derivate e grafici

Stessi grafici combinati per una esercitazione:

Parabola, proprietà ottica

La proprietà più famosa:

La proprietà più famosa segue dall'uguaglianza dell'angolo fra la tangente t per P e il segmento PF è l'angolo fra t e PH.

Infatti se il punto P appartiene alla parabola deve stare, per definizione di parabola, sull'asse del segmento FH. Per dimostrare che l'asse di FH è tangente alla parabola bisogna far vedere che incontra la parabola in un solo punto. Ossia che la parabola sta tutta da una stessa parte rispetto a t. Ora, t divide il piano in due semipiani. Quello contente F è costituito da tutti i punti più vicini a F che ad H. I punti della parabola, eccetto P, stanno in questo semipiano, perché il segmento perpendicolare è il più corto...

Usando questa stessa proprietà si può dimostrare l'ortogonalità delle parabole confocali:

Derivata di x^a

Parabola, luogo dei vertici e luogo dei fuochi

Qual è il luogo dei vertici delle parabole y=x²+bx?
E il luogo dei fuochi?

Un quadrato vincolato

Dato un punto fisso P e una retta r, considera tutti i quadrati con un vertice in P e un vertice sulla retta. Qual è il luogo di ciascun vertice? (da Vasilyev, Gutenmacher Straight lines and curves)

Che cosa succederebbe con i triangoli? E con altri poligoni regolari?

Il cerchio dei nove punti

I nove punti sono:
i tre piedi delle altezze del triangolo,
i tre punti medi dei lati,
i tre punti medi dei segmenti che collegano l'ortocentro con ciascuno dei vertici del triangolo.
Il cerchio dei nove punti è il trasformato del cerchio circoscritto al triangolo dall'omotetia di centro H e rapporto di scala 1/2. I nove punti stanno sul cerchio perché i tre simmetrici di H rispetto a ogni piede stanno sul cerchio circoscritto, così come i tre simmetrici di H rispetto a ogni punto medio. X, Y e Z ci stanno invece per costruzione, essendo punti medi...
HO è la retta di Eulero...