giovedì 14 novembre 2019
Problemini sulla parabola
I 12 problemi formano un circuito, il numero cerchiato è la soluzione del problema precedente. Conviene partire dal problema in alto a sinistra:
sabato 26 ottobre 2019
martedì 22 ottobre 2019
Parabola, proprietà ottica
La proprietà più famosa:
La proprietà più famosa segue dall'uguaglianza dell'angolo fra la tangente t per P e il segmento PF è l'angolo fra t e PH.
Infatti se il punto P appartiene alla parabola deve stare, per definizione di parabola, sull'asse del segmento FH. Per dimostrare che l'asse di FH è tangente alla parabola bisogna far vedere che incontra la parabola in un solo punto. Ossia che la parabola sta tutta da una stessa parte rispetto a t. Ora, t divide il piano in due semipiani. Quello contente F è costituito da tutti i punti più vicini a F che ad H. I punti della parabola, eccetto P, stanno in questo semipiano, perché il segmento perpendicolare è il più corto...
Usando questa stessa proprietà si può dimostrare l'ortogonalità delle parabole confocali:
La proprietà più famosa segue dall'uguaglianza dell'angolo fra la tangente t per P e il segmento PF è l'angolo fra t e PH.
Infatti se il punto P appartiene alla parabola deve stare, per definizione di parabola, sull'asse del segmento FH. Per dimostrare che l'asse di FH è tangente alla parabola bisogna far vedere che incontra la parabola in un solo punto. Ossia che la parabola sta tutta da una stessa parte rispetto a t. Ora, t divide il piano in due semipiani. Quello contente F è costituito da tutti i punti più vicini a F che ad H. I punti della parabola, eccetto P, stanno in questo semipiano, perché il segmento perpendicolare è il più corto...
Usando questa stessa proprietà si può dimostrare l'ortogonalità delle parabole confocali:
lunedì 21 ottobre 2019
Parabola, luogo dei vertici e luogo dei fuochi
Qual è il luogo dei vertici delle parabole y=x2+bx?
E il luogo dei fuochi?
E il luogo dei fuochi?
mercoledì 16 ottobre 2019
Un quadrato vincolato
Dato un punto fisso P e una retta r, considera tutti i quadrati con un vertice in P e un vertice sulla retta. Qual è il luogo di ciascun vertice? (da Vasilyev, Gutenmacher Straight lines and curves)
Che cosa succederebbe con i triangoli? E con altri poligoni regolari?
Che cosa succederebbe con i triangoli? E con altri poligoni regolari?
domenica 6 ottobre 2019
Il cerchio dei nove punti
I nove punti sono:
i tre piedi delle altezze del triangolo,
i tre punti medi dei lati,
i tre punti medi dei segmenti che collegano l'ortocentro con ciascuno dei vertici del triangolo.
Il cerchio dei nove punti è il trasformato del cerchio circoscritto al triangolo dall'omotetia di centro H e rapporto di scala 1/2. I nove punti stanno sul cerchio perché i tre simmetrici di H rispetto a ogni piede stanno sul cerchio circoscritto, così come i tre simmetrici di H rispetto a ogni punto medio. X, Y e Z ci stanno invece per costruzione, essendo punti medi...
HO è la retta di Eulero...
giovedì 26 settembre 2019
La retta di Simson
Dato un triangolo, la sua circonferenza circoscritta e un punto P su essa, le proiezioni ortogonali X, Y, Z del punto P sui lati del triangolo giacciono su una retta.
La retta di Simson.
Secondo Alfred Posamentier si tratta di un teorema di geometria didatticamente importante. Infatti l'enunciato è semplice, ma sorprendente. Si sente il bisogno di una spiegazione del perché i punti sono allineati. In altre parole, in questo teorema più che in altri la necessità di una dimostrazione sembra meno una richiesta esterna, imposta dall'insegnante o dal libro di testo.
La retta di Simson, famosa quanto la retta di Eulero, in realtà non fu scoperta da Robert Simson, ma da William Wallace nel 1797. Simson pubblicò una versione in lingua inglese degli Elementi di Euclide che ebbe un grande successo.
Secondo Alfred Posamentier si tratta di un teorema di geometria didatticamente importante. Infatti l'enunciato è semplice, ma sorprendente. Si sente il bisogno di una spiegazione del perché i punti sono allineati. In altre parole, in questo teorema più che in altri la necessità di una dimostrazione sembra meno una richiesta esterna, imposta dall'insegnante o dal libro di testo.
Peraltro la dimostrazione è impegnativa, ma fattibile e istruttiva (si basa sui quadrilateri ciclici).
Una traccia è nella figura sotto: la tesi è: angolo XYC=angolo ZYA.
Una traccia è nella figura sotto: la tesi è: angolo XYC=angolo ZYA.
La retta di Simson, famosa quanto la retta di Eulero, in realtà non fu scoperta da Robert Simson, ma da William Wallace nel 1797. Simson pubblicò una versione in lingua inglese degli Elementi di Euclide che ebbe un grande successo.
mercoledì 25 settembre 2019
Pick senza Pick
Un problema di geometria analitica, ma non solo, preso da Mathcounts, una delle costole di AOPS.
Il triangolo rettangolo delimitato dai due assi cartesiani e dalla retta di equazione 3x − y = 6 contiene 2 punti a coordinate intere. Quanti punti a coordinate intere saranno contenuti nel triangolo delimitato dai due assi cartesiani e dalla retta di equazione 3x − y = 24?
Con un po' di pazienza si possono contare tutti. Ma se l'equazione della retta fosse 3x − y = 240?
Per evitare di contarli la formula magica è: metàdelrettangolomenoladiagonale.
Una formula magica più generale la fornisce il teorema di Pick. Sul teorema di Pick, definitiva questa lezione di Tom Davis.
Il triangolo rettangolo delimitato dai due assi cartesiani e dalla retta di equazione 3x − y = 6 contiene 2 punti a coordinate intere. Quanti punti a coordinate intere saranno contenuti nel triangolo delimitato dai due assi cartesiani e dalla retta di equazione 3x − y = 24?
Con un po' di pazienza si possono contare tutti. Ma se l'equazione della retta fosse 3x − y = 240?
Per evitare di contarli la formula magica è: metàdelrettangolomenoladiagonale.
Una formula magica più generale la fornisce il teorema di Pick. Sul teorema di Pick, definitiva questa lezione di Tom Davis.
martedì 24 settembre 2019
domenica 22 settembre 2019
sabato 21 settembre 2019
Equazione della retta
Equazione della retta e significato geometrico del coefficiente angolare:
Più o meno stesso tipo di scheda:
Più o meno stesso tipo di scheda:
Iscriviti a:
Post (Atom)