5G Carducci, compito di matematica (limiti)

3G Carducci, compito di matematica

3B Marconi, compito di matematica (equazione della circonferenza)

4G Carducci, compito di matematica (equazione della circonferenza)

1C Marconi, compito di fisica (densità, misura delle grandezze)

5C Marconi, compito di fisica (campo elettrico)

1C Marconi, esercitazione di fisica (misura delle grandezze, densità, equivalenze)

4G Carducci, compito di matematica (equazione della circonferenza)

3G Carducci, Compito di matematica (introduzione al piano cartesiano)

5G Carducci, Compito di Matematica (disequazioni)

15.10.09, 3B Marconi, Compito di matematica (retta per due punti, rette parallele, ...)

11.10.09 3B Marconi, Esercitazione (retta per due punti, rette parallele e perpendicolari...)

prova geogebra. Clicca qui.

Ecco le foto del pranzo con la 4M.

4.6.09 4M, compito di matematica (numeri complessi, probabilità)

4.6.09 3L, compito di fisica (conservazione dell'energia)

4.6.09 1L, compito di fisica (vettori, equilibrio)

21.5.09 4 M, Il problema degli arcieri (probabilità condizionata e teorema di Bayes)

Tre frecce sono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri. La probabilità dell'arciere A di fare centro è 3/5, la probabilità dell'arciere B di fare centro è 1/2 e la probabilità dell'arciere C di fare centro è 4/5.
Se una sola freccia raggiunge il centro del bersaglio, qual è la probabilità che essa sia di A?

Eravamo arrivati a un certo punto, poi è mancato qualcosa... Mi scuso e provo a rimediare.

P(1), la probabilità che una sola (attenzione, ribadisco: una sola) freccia arrivi al bersaglio è

P(1) = (3/5)(1/2)(1/5)+(2/5)(1/2)(1/5)+(2/5)(1/2)(4/5)=13/50

perché l'unica freccia arrivata al bersaglio può essere stata scoccata da A (e né da B né da C), o da B (e né da A né da C) o da C (e né da A né da B)

Per il teorema di Bayes la probabilità che l'unica freccia arrivata al bersaglio sia scoccata da A, in simboli P(A/1) è:

P(A/1)=P(1/A)P(A)/P(1),

P(A) siamo tutti d'accordo che vale 3/5; abbiamo appena calcolato P(1) e sappiamo che vale 13/50.

Ma quanto vale P(1/A)?

E' qui che ci siamo fermati...

Riflettiamo bene. P(1/A) è la probabilità che la freccia arrivata al bersaglio sia stata scoccata da A. Ma affinché la freccia (l'unica freccia) arrivata al bersaglio sia quella scoccata da A, essa non può essere quella scoccata da B o quella scoccata da C, e questo significa che gli arcieri B e C devono sbagliare entrambi. La probabilità che entrambi B e C sbaglino è (1/2)(1/5)=1/10.

Quindi P(1/A)=1/10

Sostituendo nella formula di Bayes:

P(A/1)=(1/10)(3/5)/(13/50)=3/13

Sono sicuro che qualcuno dirà che l'ho fatto tornare.

Forse ha ragione.

Però c'è anche un altro modo per risolvere questo problema. E senza scomodare la formula di Bayes (così qualcuno sarà contento). In generale si può scrivere:

P(A/1)=P(A e 1)/P(1) (dove e sta per intersezione)

Ma P(A e 1) quanto vale? Si tratta della probabilità che un'unica freccia colpisca il bersaglio e che essa sia stata scoccata da A. Quindi sarà il prodotto (3/5)(1/2)(1/5)=3/50

Sostituendo

P(A/1)=P(A e 1)/P(1)=(3/50)/(13/50)=3/13

Concludendo, dov'era l'inghippo che ci ha bloccato? A me sembra che sia stata la difficoltà di distinguere tra

P(A), la probabilità che una freccia scoccata da A colpisca il bersaglio

e

P(1/A), la probabilità che una (e una sola) freccia arrivata al bersaglio sia stata scoccata da A.

Non c'è alcun motivo perché queste due probabilità siano uguali. Però è vero che per apprezzare bene la distinzione bisogna rifletterci...